(1)
點(diǎn)P(-1,√2 /2)在橢圓上,代入橢圓的方程得到
1/a²+1/2b²=1
PF2與y軸的交點(diǎn)M滿足向量PM+向量F2M=向量0,
即M是PF2的中點(diǎn),且M的橫坐標(biāo)為0,
那么F2的橫坐標(biāo)就是P點(diǎn)橫坐標(biāo)的相反數(shù),
即F2(1,0)
故a²-b²=1,與1/a²+1/2b²=1
連解得到a²=2,b²=1,
即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²/2+ y²=1
(2)
顯然以F1F2為直徑的圓為x²+y²=1
而直線y=kx+m與圓O相切,即O點(diǎn)到直線的距離為1,
m²/(1+k²)=1
設(shè)y=kx+m與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)
即x1,x2是方程x²/2+ (kx+m)²=1的解,化簡(jiǎn)得到(2k²+1)x² +4kmx+2m²-2=0
故x1+x2= -4km/(2k²+1),x1*x2=(2m²-2)/(2k²+1)
顯然向量OA*向量OB
=x1*x2+y1*y2
=x1*x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(k²+1)x1*x2+mk(x1+x2)+m²
=(k²+1)(2m²-2)/(2k²+1) -4m²k²/(2k²+1) +m² 代入m²=1+k²
=(k²+1)/(2k²+1)
= λ
而2/3≤λ≤3/4,
解得 1/2≤k² ≤1
而顯然O點(diǎn)到AB的距離d為圓半徑1,
|AB|
=√(x1-x2)² *√(1+k²)
=√[(x1+x2)² -4x1*x2] * √(1+k²)
= 2√2 |k| / (2k²+1)
= 2√2 / (2|k| +1/|k| )
即三角形OAB的面積
S=1/2 * 1*|AB|
= √2 / (2|k| +1/|k| )
而1/2≤k² ≤1,
所以顯然在k²=1/2時(shí),
S取最大值1/2,
在k²=1時(shí),
S取最小值√2 /3
于是三角形OAB的面積S的取值范圍是
√2 /3 ≤S≤ 1/2