單調(diào)有界定理的“變形”的正確性
單調(diào)有界定理的“變形”的正確性
單調(diào)有界定理：若數(shù)列遞增（遞減）有上界（下界）,則數(shù)列收斂,即單調(diào)有界數(shù)列必有極限.
我想問：“若單調(diào)遞增（遞減）且有極限,則數(shù)列有上界（下界）.”這個(gè)命題是否正確?最好有證明.
單調(diào)有界定理：若數(shù)列遞增（遞減）有上界（下界）,則數(shù)列收斂,即單調(diào)有界數(shù)列必有極限.
我想問：“若單調(diào)遞增（遞減）且有極限,則數(shù)列有上界（下界）.”這個(gè)命題是否正確?最好有證明.
數(shù)學(xué)人氣：397 ℃時(shí)間：2020-05-22 04:07:34
優(yōu)質(zhì)解答
這個(gè)命題是正確的.實(shí)際上任意收斂數(shù)列都是有界的(上界下界都存在).設(shè)lim{n → ∞} a[n] = b,由極限的定義,對ε = 1 > 0,存在N,使得n > N時(shí)|a[n]-b| < ε = 1.于是對n > N,有b-1 < a[n] < b+1.然而n ≤ N只有有限項(xiàng),...是這個(gè)意思.
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