70是5和7的公倍數(shù),且除以3余1.21是3和7的公倍數(shù),且除以5余1.15是3和5的公倍數(shù),且除以7余1.（任何一個一次同余式組,只要根據(jù)這個規(guī)律求出那幾個關(guān)鍵數(shù)字,那么這個一次同余式組就不難解出了.）把70、21、15這三個數(shù)分別乘以它們的余數(shù),再把三個積加起來是233,符合題意,但不是最小,而105又是3、5、7的最小公倍數(shù),去掉105的倍數(shù),剩下的差就是最小的一個答案.
用歌訣解題容易記憶,但有它的局限性,只能限于用3、5、7三個數(shù)去除,用其它的數(shù)去除就不行了.后來我國數(shù)學家又研究了這個問題,運用了像上面分析的方法那樣進行解答.
例1：一個數(shù)被3除余1,被4除余2,被5除余4,這個數(shù)最小是幾?
題中3、4、5三個數(shù)兩兩互質(zhì).
則〔4,5〕=20；〔3,5〕=15；〔3,4〕=12；〔3,4,5〕=60.
為了使20被3除余1,用20×2=40；
使15被4除余1,用15×3=45；
使12被5除余1,用12×3=36.
然后,40×1＋45×2＋36×4=274,
因為,274>60,所以,274－60×4=34,就是所求的數(shù).
例2：一個數(shù)被3除余2,被7除余4,被8除余5,這個數(shù)最小是幾?
題中3、7、8三個數(shù)兩兩互質(zhì).
則〔7,8〕=56；〔3,8〕=24；〔3,7〕=21；〔3,7,8〕=168.
為了使56被3除余1,用56×2=112；
使24被7除余1,用24×5=120.
使21被8除余1,用21×5=105；
然后,112×2＋120×4＋105×5=1229,
因為,1229>168,所以,1229－168×7=53,就是所求的數(shù).
例3：一個數(shù)除以5余4,除以8余3,除以11余2,求滿足條件的最小的自然數(shù).
題中5、8、11三個數(shù)兩兩互質(zhì).
則〔8,11〕=88；〔5,11〕=55；〔5,8〕=40；〔5,8,11〕=440.
為了使88被5除余1,用88×2=176；
使55被8除余1,用55×7=385；
使40被11除余1,用40×8=320.
然后,176×4＋385×3＋320×2=2499,
因為,2499>440,所以,2499－440×5=299,就是所求的數(shù).
例4：有一個年級的同學,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,問這個年級至少有多少人 （幸福123老師問的題目）
題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質(zhì).
則〔7,5〕=35；〔9,5〕=45；〔9,7〕=63；〔9,7,5〕=315.
為了使35被9除余1,用35×8=280；
使45被7除余1,用45×5=225；
使63被5除余1,用63×2=126.
然后,280×5＋225×1＋126×2=1877,
因為,1877>315,所以,1877－315×5=302,就是所求的數(shù).
例5：有一個年級的同學,每9人一排多6人,每7人一排多2人,每5人一排多3人,問這個年級至少有多少人 （澤林老師的題目）
題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質(zhì).
則〔7,5〕=35；〔9,5〕=45；〔9,7〕=63；〔9,7,5〕=315.
為了使35被9除余1,用35×8=280；
使45被7除余1,用45×5=225；
使63被5除余1,用63×2=126.
然后,280×6＋225×2＋126×3=2508,
因為,2508>315,所以,2508－315×7=303,就是所求的數(shù).
（例5與例4的除數(shù)相同,那么各個余數(shù)要乘的“數(shù)”也分別相同,所不同的就是最后兩步.）
關(guān)于“中國剩余定理”類型題目的另外解法
“中國剩余定理”解的題目其實就是“余數(shù)問題”,這種題目,也可以用倍數(shù)和余數(shù)的方法解決.如：
例一,一個數(shù)被5除余2,被6除少2,被7除少3,這個數(shù)最小是多少?
解法：題目可以看成,被5除余2,被6除余4,被7除余4 .看到那個“被6除余4,被7除余4”了么,有同余數(shù)的話,只要求出6和7的最小公倍數(shù),再加上4,就是滿足后面條件的數(shù)了,6X7＋4＝46.下面一步試下46能不能滿足第一個條件“一個數(shù)被5除余2”.不行的話,只要再46加上6和7的最小公倍數(shù)42,一直加到能滿足“一個數(shù)被5除余2”.這步的原因是,42是6和7的最小公倍數(shù),再怎么加都會滿足
“被6除余4,被7除余4”的條件.
46＋42＝88
46＋42＋42＝130
46＋42＋42＋42＝172
這是一種形式的,它的前提是條件中出現(xiàn)同余數(shù)的情況,如果遇到?jīng)]有的,下面講
例二,一個班學生分組做游戲,如果每組三人就多兩人,每組五人就多三人,每組七人就多四人,問這個班有多少學生?
解法：題目可以看成,除3余2,除5余3,除7余4.沒有同余的情況,用的方法是“逐步約束法”,就是從“除7余4的數(shù)”中找出符合“除5余3的數(shù)”,就是在4上一直加7,直到所得的數(shù)除5余3.得出數(shù)為18,下面只要在18上一直加7和5得最小公倍數(shù)35,直到滿足“除3余2”
4＋7＝11
11＋7＝18
18＋35＝53
這種方法也可以解“中國剩余定理”解的題目.比“中國剩余定理”更好理解,我覺的速度上會比那個繁瑣的公式化的解題更快.