求用不動點的原理,求數(shù)列通項的例子
數(shù)列中,A1=1,A2=2,A(n+2)=-A(n+1)+2An （A后的括號代表下標）求An通項
這道體我當時記了個方法：原式變形后 A(n+2)+A(n+1)-2An＝0
令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1 所以｛A(n+1)-An｝為公比-2的數(shù)列；｛A(n+1)+2An｝為公比1的數(shù)列
然后聯(lián)立 解出來
上述方法,應該說是特征根法和不動點法.
特征根：
對于多個連續(xù)項的遞推式（不含常數(shù)項）,可化為X的(n-1)次方程.
即：a0*An+a1*An+1+a2*An+2+...ak*An+k可寫為：
a0+a1x+a2x^2+...akx^(k-1)=0
然后求出根（實根虛根都可以）,不同項寫成C*x^(n-1),相同項寫成關于n的整式,有多少同根,n的次數(shù)就是同根數(shù)減1,比如求出x1=2,x2=3,x3=3,x4=6,x5=3,通項就是：a*2^(n-1)+b*6^(n-1)+3*(cn^2+bn+d),其中abcde都是待定系數(shù),要靠已知項聯(lián)立方程求解.
不動點：
比如：已知a1=1,且a(n+1)=1+2/an (n大于等于1),求an
a(n+1)=(an+2)/an(*)
令an=x,a(n+1)=x
x=(x+2)/x
x^2-x-2=0
x1=2,x2=-1
{(an-2)/(an+1)}為等比數(shù)列
令(an-2)/(an+1)=bn
b(n+1)/bn=[(a(n+1)-2)/(a(n+1)+1)]/[(an-2)/(an+1)]
(將a(n+1)用*式換成an)
=-1/2
b(n+1)=(-1/2)bn
b1=-1/2
bn=(-1/2)^n=(an-2)/(an+1)
an=[2+(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1
注：形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D),A,C不為0的分式遞推式都可用不動點法求.讓a(n+1)=an=x,代入化為關于x的二次方程
(1)若兩根x1不等于x2,有{(an-x1)/(an-x2)}為等比數(shù)列,公比由兩項商求出
(2)若兩根x1等于x2,有{1/(an-x1)}為等差數(shù)列,公差由兩項差求出
若無解,就只有再找其他方法了.
并且不動點一般只用于分式型上下都是一次的情況,如果有二次可能就不行了.
對于原理,要大學才學,是建立在對方程的研究之上的.