證明:只有有限多個(gè)子群的群必然是有限群
證明:只有有限多個(gè)子群的群必然是有限群
數(shù)學(xué)人氣：862 ℃時(shí)間：2020-05-08 16:09:41
優(yōu)質(zhì)解答
反設(shè)G是無限群,那么分兩種情況：（1）如果G中有無限階元a,那么是無限階循環(huán)群,從而,,...,,...都是G的互不相同的子群,從而G有無限多個(gè)子群,矛盾.（2）如果G中沒有無限階元,則G中每個(gè)元素都是有限階的,記S={|x∈G},則|S|也是有限的（否則,如果S是無窮集合,而S中每個(gè)元素都是G的子群,從而G有無限多個(gè)子群,矛盾）.注意到,G=∪S.這就是說,G是有限個(gè)有限集合的并,從而是有限的.
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