多項式的對稱
假設(shè) 是未知數(shù),是 的二次方程, ,它的兩個根 有如下關(guān)系：
,
和 都有這樣的性質(zhì)：把 和 對換,結(jié)果仍然不變,因為
,
凡是有這樣性質(zhì)的 和 的多項式叫做對稱多項式.
例如, ,也是對稱多項式,但是 就不是對稱多項式.并且我們習慣上把 和 叫做初等對稱多項式.
我們來看一般情況,設(shè)n∈Z+, a0,a1,……an∈C,a0≠0設(shè)現(xiàn)在有一元n次多項式方程：

著名的代數(shù)基本定理告訴我們,這樣的方程有n個根,假設(shè)為 ,那么：

和二次的情形相仿,韋達定理給出：

像如上左邊各式：

等這樣的多項式,不論我們對 ,作怎樣的排列,都是不會變的.也就是說我們把 , 是一個n排列,那么以上的式子是不會變的.這樣的式子我們稱為 的對稱多項式,并且以上的幾個對稱多項式為初等對稱多項式.
定義6：設(shè) 是C上的一個n元多項式,如果對這n個文字 的指數(shù)集{1,2,…n}施行任一個置換后, 都不改變,那么就稱 是C上一個n元對稱多項式.
例如: 是對稱多項式,
而 就不是,
如果把：1→2,2→3,3→1
那么
初等對稱多項式的重要性在于
定理（對稱多項式基本定理）：
每一個n元對稱多項式都可以唯一地表示成初等對稱多項式的多項式.
現(xiàn)在我們用群的語言去描述n元多項式的對稱性.
令 ,Sn是M的變換群,即前面提到的n次對稱群.如果我們略去字母 而只記下標,這時Sn中的元素可以記為：
是一個n排列.
令F 記數(shù)域F上n元多項式的全體.對 ,利用 可以定義F 到F 的一個映射,

那么 是集合F 的一個一一變換.為什么?

令Tn中
那么（Tn,o）滿足 ,稱之為F 的置換群.
如果把n元多項式和平面圖形類比,把F 和平面類比,則F 的置換群相當于平面的運動群,（平面的所有保距變換）.


即所有不變 的那些 ,那么我們 滿足性質(zhì) ,稱之為n 元多項式 的對稱群.
例1： ,那么 ,即四次對稱群是 的對稱群.
例2：

例3：
——Klein 4元群
例4： 單位元群
例5：
是3階循環(huán)解.
定義 ： 的一個多項式 稱為對稱多項式,如果 .即對稱群是整個置換群.
就這樣我們用群來刻劃了多項式的對稱.
如何去構(gòu)造對稱多項式,可見《近世代數(shù)》P55.
四、數(shù)域的對稱
數(shù)域的概念在大學一年級高等代數(shù)中就講過了.
一個非空數(shù)集F,至少含有一個非零的數(shù),如果F對＋,－,×,÷封閉,那么F稱為一個數(shù)域.
Q,R,C都是數(shù)域,最小的數(shù)域是Q,
也是一個數(shù)域.
平面圖形是一個幾何結(jié)構(gòu),即是把一個點集M（圖形由點組成）連同此點集M中任意兩點間的距離作為一個整體來考慮,而其對稱群就是M的保持其任兩點間的距離不變的變換的全體,這些保持M的幾何結(jié)構(gòu)（即距離）的變換的全體,就刻畫了幾何結(jié)構(gòu)的對稱.
完全類似地,數(shù)域F是一個代數(shù)結(jié)構(gòu),也就是把一個數(shù)集F連同此數(shù)集F中加、減、乘、除的運算作為一個整體一起來考慮.
所以數(shù)域F的對稱也同樣地可以用F的保持代數(shù)結(jié)構(gòu)（即運算）的變換的全體來刻畫.
定義7數(shù)域F的自同構(gòu) 是指：
（1） 是F的一個一一變換
（2）
定理1若 是F的自同構(gòu),那么 有以下系列的性質(zhì)：
（1）
（2） ；
（3）
（4） .
和我們前面討論平面有限圖形K的對稱一樣兩個對稱變換的乘積仍是K的一個對稱變換,類似地我們有：
性質(zhì)1設(shè) 和 是數(shù)域F的兩個自同構(gòu),那么 和 也是F的一個自同構(gòu).
性質(zhì)2令Aut（F）表示F的所有自同構(gòu)的全體,令o表示變換的乘法,則（Aut(F),o）滿足G1)—G4).
定義8 稱（Aut(F),o）為數(shù)域F的自同構(gòu)群.
我們可以這樣來類比：數(shù)域F的自同構(gòu)群相當于圖形K的對稱群,后者刻畫了圖形K的對稱,前者則刻畫了數(shù)域的“對稱”,——它是圖形對稱在數(shù)域上的一個類比概念.
定理2有理數(shù)域 的自同構(gòu)群只有一個元素——恒等自同構(gòu)I.
由此可知,若任意數(shù)域F,F,且 ,那么 .即 , 限制在 上是恒等變換.
例1令 是一個數(shù)域,是把 添加到 做成的代數(shù)擴域.考察F的自同構(gòu)群.
設(shè)
,
由定理1知, ,
故 ,變換的結(jié)果取決于
令 最多只有2個數(shù)值 和 ,故F的自同構(gòu)群只有


可以驗證I、 確為F上的自同構(gòu).
o I φ
I I φ
φ φ I
這是一個2元循環(huán)群, ,
同構(gòu)于 ,即 的對稱群.
例2令
這也是一個數(shù)域.設(shè) ,同上例, 的作用決定于 和 ,知 和 只有4種組合方式.故Aut(E)只有4個元素

o I φ1 φ2 φ12
I I φ1 φ2 φ12
φ1 φ1 I φ12 φ2
φ2 φ2 φ12 I φ1
φ12 φ12 φ2 φ1 I
o (1) (12) (34) (12)(34)
(1) (1) (12) (34) (12)(34)
(12) (12) (1) (12)(34) (34)
(34) (34) (12)(34) (1) (12)
(12)(34) (12)(34) (34) (12) (1)
Aut(E)與Klein 4元群同構(gòu) :
,
即 的對稱群.
我們把上面說的推廣到一般情況,
定義9給定兩個數(shù)域F和E,如果F E,則稱F是E的子域,而稱E為F的擴域.令

即 是使得F中元素不動的E的自同構(gòu),Aut(E:F)就是由所有這樣的 組成.
F就相當于平面圖形的對稱中的對稱軸或是旋轉(zhuǎn)中心.
命題（Aut(E:F),o）滿足 ,稱為數(shù)域E在F上的對稱群.
例3

和 都不能使到a+b 保持不變.
設(shè) , 為n次多項式,n個根為 , 在F上的分裂域為E, ,那么稱（Aut(E:F),o）為F上多項式 的根的對稱群,也稱為F上一元多項式 的Galois群.這個群在解決五次以上多項式方程不可能有根式解的問題上起了關(guān)鍵作用.
五、關(guān)于“對稱與群”的教學
（1） 認識運算的廣泛性,不只是數(shù)可以運算,其他的一些數(shù)學對象也可以運算,并且滿足一些數(shù)的運算所具有的性質(zhì).
（2） 乘法不一定是可以交換的.
（3） 代數(shù)結(jié)構(gòu)的概念：一個集合,加上這個集合中的運算,構(gòu)成一個代數(shù)系統(tǒng),其結(jié)構(gòu)體現(xiàn)在運算關(guān)系上.
（4） 群的概念：對稱群是一個具體的群.滿足G1)—G4),就稱為群.
（5） 數(shù)學語言是刻畫自然現(xiàn)象的一個極好工具,數(shù)學是模式的研究.數(shù)學來源于實際問題.