∵sin(α+β)∈[-1,1]
cos(α-β)∈[-1,1]
∴-1≤sin(α+β)cos(α-β)≤1
本題sin(α+β)cos(α-β)=1,
只有2種情況：
sin(α+β）=1且cos(α-β)=1,
或
sin(α+β）=-1且cos(α-β)=-1
若sin(α+β）=1且cos(α-β)=1,
則α+β=2kπ+π/2,k∈Z
α-β=2nπ,n∈Z
∴2α=2kπ+2nπ+π/2
α=(k+n)π+π/4
2β=2kπ-2nπ+π/2
β=(k-n)π+π/4
k+n為偶數(shù)時(shí),k-n也是偶數(shù)
此時(shí)sinα+cosβ=√2
k+n是奇數(shù)數(shù),k-n也是奇數(shù)
此時(shí)sinα+cosβ=-√2
若sin(α+β）=-1且cos(α-β)=-1
則α+β=2kπ+3π/2,k∈Z
α-β=2nπ+π,n∈Z
∴2α=2kπ+2nπ+5π/2
α=(k+n)π+5π/4
2β=2kπ-2nπ+π/2
β=(k-n)π+π/4
k+n為偶數(shù)時(shí),k-n也是偶數(shù)
此時(shí)sinα+cosβ=0
k+n是奇數(shù)數(shù),k-n也是奇數(shù)
此時(shí)sinα+cosβ=0
結(jié)果有3個(gè):0,±√2