（1）由已知,得∠OGA=∠M=90°,∠GOA=∠MON,易得△OGA∽△OMN．
（2）根據（1）的結論,可得AG的值,即A的坐標,設反比例函數y= kx,把A（1,2）代入,得k=2,即y= 2x．
（3）易得B的坐標,設y=mx+n,把A（1,2）,B（4,12）代入可得方程組,解可得mn的值,代入可得直線AB的解析式；
（4）設矩形OEFG的對稱中心為Q,易得點Q坐標為（2,1）,將其代入解析式,即可判斷出答案．（1）△OGA∽△OMN．（1分）
由已知,得∠OGA=∠M=90°,∠GOA=∠MON,
∴△OGA∽△OMN．（2分）
（2）由（1）得 AGMN=OGOM．
∴ AG2=24,AG=1,
∴A（1,2）．（3分）
設反比例函數y= kx,把A（1,2）代入,得k=2,即y= 2x．（4分）
（3）∵點B的橫坐標為4,把x=4代入y= 2x中得,y= 12,即B（4,12）．（5分）
設y=mx+n,把A（1,2）,B（4,12）代入,得 {m+n=24m+n=12解得 {m=-12n=52
∴y=- 12x+ 52．（8分）
（4）設矩形OEFG的對稱中心為Q,則點Q坐標為（2,1）．
把x=2代入y= 2x,得y=1．
∴反比例函數的圖象經過矩形OEFG的對稱中心．（10分）