試著證明一下.
反證法.
假設(shè)f（x）在某一個(gè)無理數(shù)點(diǎn)不為0,那么不妨設(shè)為f(x0)=a>0,根據(jù)連續(xù)函數(shù)的保號性可知,存在某一個(gè)x0的鄰域e,在這個(gè)e內(nèi)f（x）>0,
實(shí)數(shù)有下列性質(zhì)（實(shí)數(shù)的稠密性）：任意兩個(gè)有理數(shù)之間必定有無窮多個(gè)無理數(shù),任意兩個(gè)無理數(shù)中間必定有無窮多個(gè)有理數(shù),任意確定的區(qū)間內(nèi)必定有無窮多個(gè)有理數(shù)和無窮多個(gè)無理數(shù).
因此,在區(qū)間e內(nèi),必然有無窮多個(gè)有理數(shù),根據(jù)已知條件,那么所有的這些有理數(shù)點(diǎn),必然有f（x）=0,這和前面的f（x）>0,相矛盾,所以任何一個(gè)無理數(shù)點(diǎn),均滿足f（x）=0
最后,因?yàn)閷?shí)數(shù)是由無理數(shù)和有理數(shù)相間構(gòu)成的,所有的無理數(shù)點(diǎn)和有理數(shù)點(diǎn)構(gòu)成兩個(gè)全為0的子數(shù)列,因此f（x）在R上都為0這是連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)之一啊 高數(shù)書上第一章的內(nèi)容，至于證明啊，書上的證明方法我忘了（以前還看過，現(xiàn)在看書都是只記結(jié)論不計(jì)怎么證明的，呵呵）。你可以看看書上式怎么證明的。