是這樣的,有關的定理是一步步來的,
當x→0的時候,ln(1+x)和x的函數(shù)值都是趨近于0,二者比值的極限不能直接去求,必須用洛必達法則求,
lim[ln(1+x)/x]=lim[1/(1+x)]/1=1
中間式子就是分子和分母分別求導得到的結果.
因此,在x→0的時候,二者比值的極限等于1,說明二者是等價無窮小
而x→∞時,二者都是趨近于無窮大的,因此沒有所謂同價無窮小的問題.
但是可以轉換成1/ln(1+x)和1/x來比較.
洛必達法則的證明要用到柯西中值定理,而證明柯西中值定理需要用到羅爾定理,相關證明你可以在百度上搜索.
總的來說就是用羅爾定理證明柯西中值定理,用柯西中值定理證明洛必達法則,最后用洛必達法則證明x→0時,ln(1+x)~x.
不過一般前兩部省略,洛必達法則是可以直接用的,遇到不定型比值極限（如0/0,∞/∞等形式） 可以直接將分母和分子分別求導（此時是一階導數(shù)）,然后看能否得到目標點的極限值,如果還是不定型,則繼續(xù)求導（此時是二階導數(shù)）,還是不定型則繼續(xù)求,但是前提條件是,分子和分母在目標點附近的各階次導數(shù)都是存在的.