證明：
1.(1)n=1時,B1=|A1-√3|=√3-1
(√3-1)^n/2^(n-1)=√3-1命題成立.
(2)假設(shè)n=k時,命題成立,即有Bk=|Ak-√3|<=(√3-1)^k/2^(k-1) 成立
則B(k+1)=|A(k+1)|=|(Ak+3)/(Ak+1)+1-√3|=|2/(Ak+1)+1-√3|
由 |Ak-√3|<=(√3-1)^k/2^(k-1) 成立,得：
-(√3-1)^k/2^(k-1)<=Ak-√3<=(√3-1)^k/2^(k-1)
【接下來不等式變換,目的是湊成B（k+1）的表達式,不等式三邊同加√3+1,再倒數(shù)（注意不等號變向）,再乘以2,再加 上1-√3,以上都是基本功,不過樓主須耐心計算,】最后約掉2^k,得到下式：
-(√3-1)^(k+1)/[(√3+1)*2^(k-1)+(√3-1)^k]<=2/(Ak+1)+1-√3<=(√3-1)^(k+1)/[(√3+1)*2^(k-1)-(√3-1)^k]
加上絕對值,得：
(√3-1)^(k+1)/[(√3+1)*2^(k-1)+(√3-1)^k]<=|2/(Ak+1)+1-√3|<=(√3-1)^(k+1)/[(√3+1)*2^(k-1)-(√3-1)^k]
即：
(√3-1)^(k+1)/[(√3+1)*2^(k-1)+(√3-1)^k]<=B(k+1)<=(√3-1)^(k+1)/[(√3+1)*2^(k-1)-(√3-1)^k]
【比較所要證明的式子,現(xiàn)在只要證明(√3+1)*2^(k-1)-(√3-1)^k>=2^k就可以了】
令t＝(√3+1)*2^(k-1)-(√3-1)^k-2^k
＝2^k/(√3-1)-2^k-(√3-1)^k
＝2^k[1/(√3-1)-1]-(√3-1)^k
（i）k＝1時,顯然t>=0,即(√3+1)*2^(k-1)-(√3-1)^k>=2^k成立
（ii）k>=2:因為1/(√3-1)-1約＝0.36,所以2^k[1/(√3-1)-1]>=2^2*0.36>1
因為0<√3-1<1,所以(√3-1)^k<1,所以2^k[1/(√3-1)-1]-(√3-1)^k>0
綜合（i）（ii）,得：B(k+1)<=(√3-1)^(k+1)/{2^[(k+1)-1]}
綜合(1)(2),對于任何n屬于N,Bn<=(√3-1)^n/2^(n-1)成立.
2.【利用1中已經(jīng)證明了的結(jié)論】
經(jīng)計算,B3＝√3-5/3<(√3-1)^3/2^(3-1)
所以Sn＝B1+B2+……+Bn
<(√3-1)^1/2^(1-1)+(√3-1)^2/2^(2-1)+……+(√3-1)^n/2^(n-1)
=2[(√3-1)^1/2^1+(√3-1)^2/2^2+……+(√3-1)^n/2^n]
<2*{[(√3-1)/2]/[1-(√3-1)/2]}………………………………【等比數(shù)列各項和】
＝2√3/3（證明完畢）