有理數(shù)的概念：有理數(shù)由整數(shù)和分?jǐn)?shù)組成.
推論：任意一個(gè)有理數(shù),都可以化成一個(gè)不可約分?jǐn)?shù),p/q,(p,q)=1,p,q∈Z[最大公約數(shù)為1,即互質(zhì),不可約].
顯然你的問(wèn)題是如果已經(jīng)知道一個(gè)有理數(shù)p/q,(p,q)=1,p,q∈Z,如何判斷p/q是不是循環(huán)小數(shù)
其實(shí)挺簡(jiǎn)單的,若q是10的約數(shù)(2.5,10)的約數(shù)倍,即有(2,5,10)經(jīng)過(guò)有限次乘運(yùn)算能得到的,那么p/q是一個(gè)不循環(huán)小數(shù),否則就是無(wú)限循環(huán)小數(shù).
現(xiàn)在證明一下：
我先證明有理數(shù)的運(yùn)算是封閉的,即有理數(shù)的加減乘除是有理數(shù).
令兩個(gè)有理數(shù),a/b,(a,b)=1 p/q,(p,q)=1,a,b,p,q∈Z
a/b+p/q=(aq+bp)/bq這可能是一個(gè)可約分?jǐn)?shù),但一定可以表示成一個(gè)不可約分?jǐn)?shù),只要上下同時(shí)除以(aq+bo,bq),同理,它們的差(aq-bp)/bq,積ab/bq,商aq/bq可能是一個(gè)可約分?jǐn)?shù),但一定可以表示成一個(gè)不可約分?jǐn)?shù),所以,有理數(shù)的運(yùn)算是封閉的.
然后證明你的命題：
1.把p分解質(zhì)因數(shù) q=2^n*5^m*x^y,x表示除2,5外的因數(shù)之積,若y=0,則p/q=10^(n+m)/10^(n+m)*2^n*5^m=1/10^(n+m)*2^m*5^n,是不循環(huán)小數(shù)
2.若y≠0,即q含有除2,5外的因數(shù),那么假定p/q的余數(shù)是r,即p不能整除q,只要證明p*10^n也不能整除q,就能證明p/q不是不循環(huán)小數(shù),而它又是一個(gè)分?jǐn)?shù),那么只能是無(wú)限循環(huán)小數(shù),對(duì)與這個(gè)問(wèn)題“證明p*10^n也不能整除q”,我用數(shù)學(xué)歸納法.
(1)當(dāng)n=0時(shí),余數(shù)是r,不能整除
(2)當(dāng)n=k時(shí),假定余數(shù)是s
(3)當(dāng)n=k+1時(shí),p*10^(k+1)/q=p^k/q*10,余數(shù)是10s,或者說(shuō)和10s同余,但是10s顯然不可能和0同余,因?yàn)閝中含有除2,5外的因數(shù),但無(wú)論s,10都不含有除2,5外的因數(shù),所以10s不和0同余,仍然存在余數(shù)
(4)綜上,無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次運(yùn)算,仍然存在余數(shù),所以它有限循環(huán)小數(shù)
至于是否是無(wú)限不循環(huán)小數(shù),只要先把無(wú)理數(shù)化簡(jiǎn),然后如果最簡(jiǎn)形式仍然存在無(wú)理數(shù),那就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).
我們還可以證明無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以表示成分?jǐn)?shù)形式,也即無(wú)限循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù).
令一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分為：S=0.a1a2..ana1a2..an...,即以序列a1a2..an無(wú)限循環(huán).令k=0.a1a2...an,那么S=k+k/10^n+k/10^2n+...
再令ai=k/10^[(i-1)*n] S=lim(n→+∞)∑ai=a1*(1-q^i)/1-q=a1/1-q=a1/1-1/10^n,而a1=k 所以S=k/(1-1/10^n)=10^nk/(10^n-1)=a1a2a3...an/10^n-1,這可能是一個(gè)可約分?jǐn)?shù),但一定可以表示成一個(gè)不可約分?jǐn)?shù),所以,無(wú)限循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）,而若一小數(shù)為S1=x.b1b2..bna1a2..ana1a2..an,即,不是從一開(kāi)始就循環(huán),那么不循環(huán)部,一定可以表示成b1b2b3...bn/10^n,一定是一個(gè)不可約分?jǐn)?shù),相加一定可表示成一個(gè)不可約分?jǐn)?shù),
而無(wú)限不循環(huán)小數(shù),無(wú)理數(shù),成為超越數(shù),它無(wú)法表示為代數(shù)方程的根,因而只能用級(jí)數(shù)的方法逼近.圓周率的定義是周長(zhǎng)/直徑,但是周長(zhǎng)和直徑中必然有一個(gè)不是有理數(shù),所以他們相除,必為無(wú)限不循環(huán)小數(shù).