復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式是如何推導(dǎo)出來的?
設(shè)y=f(u),u=g(x)
則f'(u)= ( f(u+du) - f(u) ) / du
    du = dg(x) = g'(x)dx
則原式=
   f'(u)= ( f(u+du) - f(u) ) / g'(x)dx
   f'(u)g'(x) = ( f(u+du) - f(u) ) /dx
                 = ( f(g(x+dx)) - f(g(x) ) /dx  = f'(x)
上述證明是否正確,如果正確的話,為什么說df/dx = df/du  *   du/dx   中的du不可以約去,上述證明中g(shù)'(x)的移位不是與du的約去本質(zhì)相同嗎?
上述證明如果錯誤,請給出正確的證明,并說明不同之處在哪里?
如果以下是對的,請說明設(shè)v 和u 的意義在哪里?如果把u ,v消去,得到的等式與上述我的證明不是一樣的嗎?


首先,根據(jù)定義：當(dāng)h->0時,g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h,所以,當(dāng)h->0時,lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0
設(shè)v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)
就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h
同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k
所以,f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h （其實就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h）
所以,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h
=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]
當(dāng)h->0時,u和v都->0,這個容易看.
所以當(dāng)h->0時,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]
=f'(g(x))·g'(x)
然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)