你的問題是這樣的.首先由對(duì)任何正實(shí)數(shù)t,X都有f(x)+f(x+2T)>2f(x+T）這個(gè)條件可知,一個(gè)嚴(yán)格的下凸函數(shù)（二階導(dǎo)數(shù)恒為正數(shù)）必定能滿足這個(gè)要求.因此這個(gè)條件比較容易實(shí)現(xiàn),這道題難點(diǎn)在于前面的條件定義域?yàn)?0,∞)值域?yàn)?0,5).我經(jīng)過思考,發(fā)現(xiàn)用反正切函數(shù)和其他函數(shù)復(fù)合可以做到這點(diǎn).f(x)=(10/pi)arctan(1/根號(hào)x).顯然,當(dāng)x>0時(shí),f(x)才由意義,所以定義域?yàn)?0,∞),而x趨于0時(shí),f(x)趨于（10/pi)*(pi/2)=5,x趨于正無窮時(shí),f(x)趨于0,切f(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的,故值域?yàn)?0,5).對(duì)f(x)求二階導(dǎo)數(shù),可以發(fā)現(xiàn)它的二階導(dǎo)數(shù)在(0,∞)恒為正,所以f(x)是一個(gè)嚴(yán)格下凸函數(shù),故對(duì)任何正實(shí)數(shù)t,X都有f(x)+f(x+2T)>2f(x+T.
當(dāng)然了,滿足條件的函數(shù)有很多,這只是形式比較簡(jiǎn)單的一個(gè).