如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點，EF⊥AE，EF分別交AC，CD于點M，F(xiàn)，BG⊥AC，垂足為G，BG交AE于點H． （1）求證：△ABE∽△ECF； （2）找出與△ABH相似的三角形，并證明； （3）若E是BC中點，BC=2AB
如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點，EF⊥AE，EF分別交AC，CD于點M，F(xiàn)，BG⊥AC，垂足為G，BG交AE于點H．
（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）找出與△ABH相似的三角形，并證明；
（3）若E是BC中點，BC=2AB，AB=2，求EM的長．
優(yōu)質(zhì)解答
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠ECF=90°．
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）△ABH∽△ECM．
證明：∵BG⊥AC，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠ABH=∠ECM，
由（1）知，∠BAH=∠CEM，
∴△ABH∽△ECM；
（3）作MR⊥BC，垂足為R，
∵AB=BE=EC=2，
∴AB：BC=MR：RC=
，∠AEB=45°，
∴∠MER=45°，CR=2MR，
∴MR=ER=
EC=
×2=
，
∴在Rt△EMR中，EM=
=
．
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