（1）∵ 點B(-2,m)在直線y=-2x-1上,
∴ m=-2×(-2)-1=3.
∴ B(-2,3)
∵ 拋物線經(jīng)過原點O和點A,對稱軸為x=2,
∴ 點A的坐標(biāo)為(4,0) .
設(shè)所求的拋物線對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-0)(x-4).
將點B(-2,3)代入上式,得3=a(-2-0)(-2-4),∴.
∴ 所求的拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 ,即 .
（2）①直線y=-2x-1與y軸、直線x=2的交點坐標(biāo)分別為D(0,-1) E(2,-5).
過點B作BG‖x軸,與y軸交于F、直線x=2交于G,
則BG⊥直線x=2,BG=4.
在Rt△BGC中,BC= .
∵ CE=5,
∴ CB=CE=5.
②過點E作EH‖x軸,交y軸于H,
則點H的坐標(biāo)為H(0,-5).
又點F、D的坐標(biāo)為F(0,3)、D(0,-1),
∴ FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE （SAS）,
∴ BD=DE.
即D是BE的中點. …………………
（3）存在.
由于PB=PE,∴ 點P在直線CD上,
∴ 符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點.
設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.
將D(0,-1) C(2,0)代入,得 . 解得 .
∴ 直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y= x-1.
∵ 動點P的坐標(biāo)為(x, ),
∴x-1= .
解得, .∴, .
∴ 符合條件的點P的坐標(biāo)為( , )或( , ).