柯西不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造平方,
故為證原不等式
[2/(a+b)]+[2/(b+c)]+[2/(a+c)]≥9/(a+b+c)
我們可等價(jià)變?yōu)?br/>{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}≥9/(a+b+c)
(上下都除以2)
亦即求證
(a+b+c)【{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}】≥9
而又:
a+b+c=(a+b)/2+(b+c)/2+(a+c)/2
故
由柯西不等式
(a+b+c)【{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}】
=[(a+b)/2+(b+c)/2+(a+c)/2]【{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}】
≥[(1+1+1)]^2
=9
故原不等式成立