設(shè)A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為J,有可逆矩陣P,使得A=P^(-1)JP
若A的特征值沒(méi)有0,說(shuō)明A是滿秩的,則r(A^k)=n,對(duì)任意k都成立.
若A有為0的特征值,設(shè)其對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊為J_1、J_2……J_k.
由于A^n=(P^(-1)JP)^n=P^(-1)(J^n)P,因此r(A^n)=r(J^n).
而(J_i)^n=(J_i)^(n+1)=(J_i)^(n+2)=...=(J_i)^(m)=...=O,對(duì)i=1,2……k.
則r(J^n)=r(J^(n+1))=r(J^(n+2))=...=r(J^m)=...
對(duì)應(yīng)的有r(A^n) = r(A^(n+1)) = \x01… = r(A^m) = \x01\x01…
如果不熟悉若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的話,可以證明A^nX=0與A^(n+1)X=0同解,這種方法可以見(jiàn)參考資料.