（1）∵O是A₁B與AB₁的交點(diǎn)，
直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=A₁A，AC=BC，
∴O為A₁B的中點(diǎn)，
在△A₁BA中，∵E為AB中點(diǎn)，
∴EO平行A₁A，EO=

A1A

2

，且EO垂直AB，
∵D為C₁C的中點(diǎn)，
∴DC=

C1C

2

=

A1A

2

=EO，
∵EO∥DC，且EO=DC，EO垂直AB，
∴四邊形EODC為矩形，
∴EC∥OD，且EC=OD，
∵OD?平面A₁BD，
EC?平面A₁BD，
∴EC∥平面A₁BD．
（2）∵四邊形EODC為矩形，∴OD⊥OE，
∵AC=BC，E為AB中點(diǎn)，∴EC⊥AB，
∴OD⊥AB，
∴OD⊥平面ABB₁A₁，
∴OD垂直AB₁，
∵AB=A₁A，∴側(cè)面ABB₁A₁為正方形，
∴AB₁⊥A₁B，
∵A₁B與OD都在平面A₁BD上，A₁B∩OD=O，
∴AB₁⊥平面A₁BD．