我來回答：顯然f(x)為基本初等函數(shù),即多項式函數(shù),它在任意區(qū)間[a,b]
屬于(+∞,-∞)都滿足[a,b]連續(xù),（a,b）內(nèi)可導(dǎo)的條件,又
f(0)= f(1)= f(2)= f(3)=0,所以f(x)在[0,1][,1,2][2,3]上滿足羅爾定理的
全部條件,所以 ξ1∈(0,1),ξ2∈(1,2),ξ3∈(2,3) ,有 f'(ξ1)= f'(ξ2) =f'(ξ3)=0,即至少有三個實數(shù)根 ξ1,ξ2,ξ3 .又因為f'(x)=0是三次方程,它
至多也只有三個不同實數(shù)根哪,而ξ1＜ξ2＜ξ3 不等.綜上,f'(x)=0有三個不同實數(shù)根且位于(0,1)(1,2)(2,3)內(nèi);
第二題比較簡單;因為f(X)在實數(shù)范圍內(nèi)可導(dǎo),則在實數(shù)范圍內(nèi)有,
f(X)=∫f'(X)dx+a,即f(X)為f'(X)的一個原函數(shù),即f(X)=cx+a,當(dāng)c=0時,f(X)=a（a為任意常數(shù)）,f(X)表示平行于x軸的直線；當(dāng)c≠0,顯然f(X)為一直線.所以f(X)一定是線性函數(shù)
第三題:（這是你思考的過程：通過觀察,有函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的乘積和加減=0的問題,想都羅爾定理,進而構(gòu)造函數(shù),如下思考：原式化為：f'(C)=-f(C)/C,cf'(C)+f(C)=0,用觀察可以得出(cf(C))'=0,即我們要求的輔助函數(shù)F（x））
設(shè)函數(shù)F(x)=xf(x),又由題知,f(X)在[0,1]上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo),則F(x)=xf(x),也滿足在[0,1]上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo),又F(0)=0f(0)=0,F(1)=1f(1)=0,F(x)=xf(x)在(0,1)滿足羅爾定理,所以在(0,1)內(nèi)至少存在一點C,使得
F'(c)=(cf(C))'=cf'(C)+f(C)=0,C∈(0,1),即f'(C)=-f(C)/C
我還要補充的就是構(gòu)造輔助函數(shù)是技巧、熟練程度,如果不熟悉就把式子移項兩邊積分也行,就是解微分方程了,雖麻煩,但可算萬能公式啊!