這個方程和物理中的受迫振動很像
線性方程的解由“特解+（齊次方程）通解”構(gòu)成
先求y" + y' = 0的通解
易見通解為y = Ce^(-3x)
再求方程的特解,考慮到受迫振動的解是一個周期解,不妨設(shè)特解為
y = Acos2x + Bsin2x
y' = -2Asin2x + 2Bcos2x
y" = -4Acos2x -4Bsin2x
代入方程得A = -1/13,B = 3/26
所有方程的通解為
y = Ce^(-3x) -1/13 * cos2x + 3/26 * sin2x
如果你覺得上面的推導有點“猜”的成份,還不夠嚴格,其實由解的唯一性定理保證了線性方程的解一定是在整個實軸上唯一存在的,所以關(guān)鍵問題只是把它找出來.這里利用了一點物理背景猜出它的形式后,找起來就更方便,如此而已.