f(x)=x^3-x,設(shè)a>0,如果過點(a,b)作曲線y=f(x)的三條切線,證明－a

數(shù)學(xué)人氣：393 ℃時間：2020-06-22 08:00:56

優(yōu)質(zhì)解答

設(shè)切點的坐標(biāo)為(t,f(t)) f'(x)=3x^2-1 過點點(a,b)的直線與曲線y=f(x)相切的直線方程 3t^2-1=[f(t)-b]/(t-a) 整理有 2t^3-3at^2+a+b=0 題意知道有三條切線,則有三個切點也就是說t存在三個值令G(t)=2t^3-3at^2+a+b G'(t)=6t^2-6at =6t(t-a) 令G'(t)=0 解出 t=0 或者 t=a>0 函數(shù)G(t)在(-∞,0)和(a,+∞)為增函數(shù) 在(0,a)為減函數(shù) 而G(t)=2t^3-3at^2+a+b=0存在三個不同的根那么G(0)=a+b>0 即b>-a G(a)=-a^3+a+b