計(jì)算二重積分∫∫D(1-2x-3y)dxdy,D為圓x²+y²=1所圍成的區(qū)域
兩種算法結(jié)果是一樣的!如果不一樣,那就是算錯(cuò)了!用直角坐標(biāo)時(shí),最后要用變量替換才
能求出最后結(jié)果,替換后就會(huì)出來π.
先用極坐標(biāo)計(jì)算：
原式=【0,2π】∫dθ【0,1】∫(1-2rcosθ-3rsinθ)rdr
=【0,2π】∫dθ[(r²/2)-(2r³/3)cosθ-r³sinθ]【0,1】
=【0,2π】∫[(1/2)-(2/3)cosθ-sinθ]dθ=[(1/2)θ-(2/3)sinθ+cosθ]【0,2π】=π
再用直角坐標(biāo)計(jì)算：
原式=【-1,1】∫dx【-√(1-x²),√(1-x²)】∫(1-2x-3y)dy
=【-1,1】∫dx[y-2xy-(3/2)y²]【-√(1-x²),√(1-x²)】
=【-1,1】∫[2√(1-x²)-4x√(1-x²)]dx【令x=sinu,則dx=cosudu；x=-1時(shí)u=-π/2；x=1時(shí)u=π/2】
=【-π/2,π/2】[2∫cos²udu-4∫sinucos²udu]
=【-π/2,π/2】[(1/2)∫(1+cos2u)d(2u)+4∫cos²ud(cosu)]
=[(1/2)(2u+sin2u)+(4/3)cos³u]【-π/2,π/2】=[π/2+(4/3)-(-π/2)-(4/3)]=π嗯，感謝您寫了這么長！寫的長，如果是正確的，那就給個(gè)“滿意”；如果是錯(cuò)的，又臭又長，那就不好啦！