如果f(x)=x,那么不存在這樣的ε1 不等于ε2∈(0,1),使得f'(ε1)f(ε2)=1,因?yàn)榇藭r(shí)總有f'(ε1)=1,而要f'(ε1)f(ε2)=1必須f(ε2)=1,從而ε2=1不在(0,1)內(nèi).
這樣看來(lái),問(wèn)題少了條件。。。不算這個(gè)即f(x)不恒等于x, 即存在a∈(0,1), 使得f(a)≠a, 因此, [f(a)-f(0)]/a=f(a)/a與[f(1)-f(a)]/[1-a]中必有一個(gè)大于1（分f(a)>a與f(a)1, 從而0<1/f'(ε2)<1, 再由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理存在ε1≠ε2∈(0,1), 使得f'(ε1)=1/f'(ε2), 即ε1 f'(ε1)f'(ε2)=1. 之所以ε1≠ε2, 是因?yàn)? 如果f(a)>a, 則f'(ε2)=[f(a)-f(0)]/a=f(a)/a>1, ε2∈(0,a)1/f'(ε2)=a/f(a)a與f(a)1, 從而0<1/f'(ε2)<1, 再由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理存在ε1≠ε2∈(0,1), 使得f(ε1)=1/f'(ε2), 即 f(ε1)f'(ε2)=1. 之所以ε1≠ε2, 是因?yàn)? 如果f(a)>a, 則f'(ε2)=[f(a)-f(0)]/a=f(a)/a>1, ε2∈(0,a)1/f'(ε2)=a/f(a)