兩個函數(shù)
f(x)=|Sin[nx]|和
g(x)=n*|Sin[x]|
的最小正周期為π,和π/n,
取周期的公倍數(shù)π作為其共有的周期,不一定是最小正周期.
只要一個周期內(nèi)正確,則整個實數(shù)范圍內(nèi)皆正確.
于是只證明-π/2～π/2范圍內(nèi)就可以了.
再考慮到函數(shù)是偶函數(shù),
所以只需要證明0～π/2范圍內(nèi)就可以了.
下面分情況討論:
情況I:
x=0時,顯然
f(0)=g(0)=0,命題成立.
情況II:
f(π)=g(π)=0,命題成立.
情況III:
當x∈(0,π/(2n)]時,
f(x)=|Sin[nx]|
=Sin[nx]
=Sin[nx]-Sin[(n-1)x]+Sin[(n-1)x]-Sin[(n-2)x]+...+Sin[2x]-Sin[x]+Sin[x]
=(Sin[nx]-Sin[(n-1)x])+(Sin[(n-1)x]-Sin[(n-2)x])+...+(Sin[2x]-Sin[x])+Sin[x]
考慮到正弦函數(shù)y=Sin[nx]在x∈(0,π/(2n)]范圍內(nèi)為增函數(shù),函數(shù)值始終大于0,斜率隨著x的增大而減小.
所以
(Sin[nx]-Sin[(n-1)x])≤Sin[x]-Sin[0].
即
(Sin[nx]-Sin[(n-1)x])≤Sin[x],
同理有:
(Sin[(n-1)x]-Sin[(n-2)x])≤Sin[x],
(Sin[(n-2)x]-Sin[(n-3)x])≤Sin[x],
...
(Sin[2x]-Sin[x])≤Sin[x],
Sin[x]≤Sin[x],
于是左右分別相加得.
Sin[nx]π/(2n),所以g(x)>g(π/(2n))
g(x)>n*Sin[π/(2n)],
仿照情況III的證明過程可以證明
n*Sin[π/(2n)]≥Sin[n*π/(2n)],即
n*Sin[π/(2n)]≥Sin[π/2],所以
n*Sin[π/(2n)]≥1.
f(x)≤1,g(x)≥1,
所以f(x)≤g(x).
根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可以證明-π/2～π/2范圍內(nèi),命題仍然成立.
于是在一個周期內(nèi)證明了命題成立.
于是命題成立.