即證：a(mlnm+nlnn)+a(m+n)ln2≥a(m+n)ln(m+n)
化簡：mlnm+nlnn+(m+n)ln2≥(m+n)ln(m+n)
即：m[lnm+ln2-ln(m+n)]+n[lnn+ln2-ln(m+n)]≥0
即:mln[2m/(m+n)]+nln[2n/(m+n)]≥0
即：ln[2/(1+n/m)]+(n/m)ln[2/(1+m/n)]≥0
令x=n/m,即證函數(shù)：g(x)=ln[2/(1+x)]+xln[2x/(1+x)]≥0
求導(dǎo)可得：g′(x)=-1/(1+x)+ln[2x/(1+x)]+x[1/x-1/(1+x)]
=ln[2x/(1+x)]=0
解得：x=1.
當(dāng)x≥1時g′(x)≥0,g(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x≥1時g′(x)≤0,g(x)單調(diào)遞減.
所以g(x)最小值是g(1)=0.
所以f(m)+f(n)+a(m+n)ln2≥f(m+n)
【高考】已知函數(shù)f(x)=axlnx,若m>0,n>0,a>0證明f(m)+f(n)>=f(m+n)-a(m+n)ln2
【高考】已知函數(shù)f(x)=axlnx,若m>0,n>0,a>0證明f(m)+f(n)>=f(m+n)-a(m+n)ln2
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