an=[4a(n-1)+2]/[2a(n-1)+7]
an+2=[4a(n-1)+2+4a(n-1)+14]/[2a(n-1)+7]
=[8a(n-1)+16]/[2a(n-1)+7]
=8[a(n-1)+2]/[2a(n-1)+7]
an -1/2=[4a(n-1)+2-a(n-1)-7/2]/[2a(n-1)+7]
=[3a(n-1)-3/2]/[2a(n-1)+7]
=3[a(n-1)-1/2]/[2a(n-1)+7]
[(an +2)/(an -1/2)]/{[a(n-1)+2]/[a(n-1)-1/2]}=8/3,為定值.
(a1+2)/(a1-1/2)=(1+2)/(1-1/2)=6
數(shù)列{(an +2)/(an -1/2)}是以6為首項,8/3為公比的等比數(shù)列.
(an +2)/(an -1/2)=6×(8/3)^(n-1)
[6×(8/3)^(n-1) -1]an=3×(8/3)^(n-1)+2
an=[3×(8/3)^(n-1) +2]/[6×(8/3)^(n-1) -1]
=[3×(8/3)^(n-1) -1/2 +5/2]/[6×(8/3)^(n-1) -1]
=(1/2) +5/[12×(8/3)^(n-1) -2]
=(1/2) +5/[2^(3n-1)/3^(n-2) -2]
n=1時,a1=(1/2) +5/[2²/3^(-1) -2]=(1/2)+5/10=1,同樣滿足.
數(shù)列{an的通項公式為an=(1/2) +5/[2^(3n-1)/3^(n-2) -2].