對任何一個函數(shù)f(x),都可以寫成f(x)=g(x)+h(x)
其中g(shù)(x)是奇函數(shù),h(x)是偶函數(shù)
為了證明這一點,我們并不是從一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和如何構(gòu)成任意函數(shù)
而是通過證明任意函數(shù)都能分解成g(x)+h(x)來得證得.
正規(guī)的證明如下:
證明:
先假設(shè)f(x) = g(x) + h(x)是存在的,設(shè)為1式
則f(-x) = g(-x) + h(-x),設(shè)為2式
奇函數(shù)性質(zhì):g(x)=-g(-x)
偶函數(shù)性質(zhì):h(x)=h(-x)
那么分別拿1式+2式,1式-2式得到:
f(x)+f(-x)=2h(x)
f(x)-f(-x)=2g(x)
由此我們得出結(jié)論,對任意的f(x),我們能夠構(gòu)造這么兩個函數(shù)
g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 是奇函數(shù)
h(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函數(shù)
且g(x)+h(x)=f(x)
證畢.
通過這個證明還能夠得到如何分解成奇函數(shù)和偶函數(shù)的方法