設(shè)AB＝2m、AD＝2n.令CD的中點(diǎn)為E.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AM、PA⊥AD,又△PAD是等腰三角形,∴PA＝AD＝2n.
∵ABCD是矩形,∴BC＝AD＝2n、BC⊥BM.
∵AM＝BM、AB＝2m,∴AM＝BM＝m.
由勾股定理,有：
PM＝√（PA^2＋AM^2）＝√（4n^2＋m^2）、　CM＝√（BM^2＋BC^2）＝√（4n^2＋m^2）.
∴PM＝CM,又PN＝CN,∴MN⊥PC.
由勾股定理,還有：
AC＝√（AB^2＋BC^2）＝√（4n^2＋4m^2）、　PD＝√（PA^2＋AD^2）＝2√2n.
∵PN＝CN、CE＝DE,∴NE是△CDP的中位線,∴NE＝PD/2＝√2n.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC,∴由勾股定理,有：
PC＝√（PA^2＋AC^2）＝√（4n^2＋4m^2＋4n^2）＝2√（2n^2＋m^2）,
∴NC＝√（2n^2＋m^2）.
∴MN＝√（CM^2－NC^2）＝√（4n^2＋m^2－2n^2－m^2）＝√2n.
∵ABCD是矩形,又M、E分別是AB、CD的中點(diǎn),∴ME＝AD＝2n.
∴由MN＝√2n、NE＝√2n、ME＝2n,得：MN^2＋NE^2＝ME^2,
∴由勾股定理的逆定理,有：MN⊥NE.
由MN⊥PC、MN⊥NE、PC∩NE＝N,得：MN⊥平面PCE,即：MN⊥平面PCD.我要空間坐標(biāo)的以A為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸、AB所在直線為y軸、AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，并使點(diǎn)N處于第一卦限內(nèi)。令A(yù)D＝2a、AB＝2b。則：點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，0，0）、點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2b，0）、點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2a，0，0）。∵ABCD是矩形，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2a，2b，0）?！逷A⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，而△PAD是等腰三角形，∴PA＝AD，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，0，2a）?！進(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得：點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，b，0）?！逳是PC的中點(diǎn)，∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得：點(diǎn)N的坐標(biāo)是（a，b，a）?！嘞蛄縈N＝（a，0，a）。容易求出：向量CD＝（0，－2b，0）、向量PD＝（2a，0，－2a）、向量PC＝（2a，2b，－2a）。設(shè)向量DE是平面PCD的法向量，且點(diǎn)E的坐標(biāo)是（c，d，e）。∴向量DE＝（c－2a，d，e）。顯然有：向量DE·向量PD＝0、向量DE·向量CD＝0。∴2a（c－2a）－2ae＝0、－2bd＝0?！郼－2a＝e、d＝0。∴向量DE＝（e，0，e）。由向量向量MN＝（a，0，a）、向量DE＝（e，0，e），得：向量MN∥向量DE，∴MN⊥平面PCD。