不存在
反證法 假如存在這樣的a,b,c
顯然a|b,a|c 設(shè)b=ma,c=na (m,n均為整數(shù)）
又(a+1)|(b+1)=>(a+1)|(ma+1)=>(a+1)|(m-1) 設(shè)m=r(a+1)+1 同理 n=s(a+1)+1(r,s均為整數(shù)）
=>b=(r(a+1)+1)a c=(s(a+1)+1)a
=>ax^2+bx+c=0ax^2+a(r(a+1)+1)x+a(s(a+1)+1)=0x^2+(1+r(a+1))x+(1+s(a+1))=0 （1）
(a+1)x^2+(b+1)x+c+1=0(a+1)x^2+(a+1)(ra+1)x+(a+1)(sa+1)=0x^2+(ra+1)x+sa+1=0 （2)
即方程(1),(2)都有整數(shù)根 假如x^2+fx+z=0有整數(shù)根顯然有f^2-4z為完全平方數(shù)
固有(1+r(a+1))^2-4(1+s(a+1))=p^2
(1+ra)^2-4(1+sa)=q^2 (p,q為整數(shù)）
假如a為偶數(shù) 設(shè)a=2k
=>1+4kr+4(kr)^2-4-8ks=q^2 -------（3）
顯然等式左邊為奇數(shù) 故設(shè)q=2d+1
=>1+4kr+4(kr)^2-4-8ks=4d^2+4d+1=>kr+(kr)^2-1-2ks=d^2+d=>kr(kr+1)-1-2ks=d(d+1)
顯然kr(kr+1)為偶數(shù) d(d+1)為偶數(shù) 2ks為偶數(shù) 而1為奇數(shù) 等式左邊為奇數(shù)右邊為偶數(shù) 矛盾
注d(d+1)為偶數(shù)是因?yàn)閐 和d+1是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù) 兩個(gè)連續(xù)整數(shù)必然有一個(gè)數(shù)偶數(shù) 所以乘積是偶數(shù),kr(kr+1)為偶數(shù)是同樣的道理
假如a為奇數(shù) 設(shè)a=2k-1
(1+r(a+1))^2-4(1+s(a+1))=p^21+4kr+4(kr)^2-4-8ks=p^2
該等式與（3）相同,故同理可得矛盾
綜上所述 不存在整數(shù)a,b,c使二次方程 ax^2+bx+c=0 和 (a+1)x^2+(b+1)x+c+1=0都有兩個(gè)整數(shù)根
證畢