證：反證法!
要證y1,y2之比不為常數(shù),即證明y1,y2線性無關(guān)!
假設(shè)y1,y2線性相關(guān),設(shè)y2＝ky1,
因?yàn)閥1,y2是二階非齊次線性方程的特解,故它們都不是常數(shù)0,且因?yàn)閥1≠y2,所以k≠0,1.
這樣,一方面有
y1''＋py2'＋qy2＝f(x),
另一方面又有
y2''＋py2'＋qy2＝ky1''＋pky1＝k(y1''＋py1'＋qy1)＝kf(x).
于是有f(x)＝kf(x)(k≠0,1),即f(x)≡0,
這與非齊次方程相矛盾,所以假設(shè)錯(cuò)誤!
因此,
y1,y2線性無關(guān),即y1,y2之比不可能為常數(shù)!