（圖1、2性質(zhì)相同,因此只作一圖分析）

       (1)結(jié)論：OE=OF,且OE⊥OF；

           方法：連接OC；

                     由于點(diǎn)E、F分別為過(guò)點(diǎn)P所作射線AC、CB上垂線的垂足,且點(diǎn)E、F隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),那么點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)速率相等,則EA=FC；

                     ∵AC=BC,∠C=90°,且點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)；

                     ∴OA=OC,且∠A=∠OCF=45°；

                     ∵OA=OC,∠A=∠CFO,EA=FC（兩邊及其夾角相等推證全等）；

                     ∴△AOE≌△COF,則OE=OF；

                     由于△AOE≌△COF,那么∠AOE=∠COF,而∠AOE與∠COF共∠COE,又∠AOE=∠COE+90°,則∠EOF=90°,即有OE⊥OF；

       (2)①判斷：PC=√2OE；

               分析：依題意推知,四邊形CEPF為矩形,那么PC=EF；又OE=OF,且OE⊥OF,即△EOF為等腰直角三角形,則EF=√2OE,即有PC=√2OE；

            ②判斷：AP²+BP²=2CP²；

               分析：在Rt△PFC中,由勾股定理得

                             CP²=FP²+CF²

                         根據(jù)題意并結(jié)合圖形可知：FP=FB=√2/2•BP；

                                                                   CB=CA=√2/2•AB；

                                                                   CF=CB+FB=√2/2•(AB+BP)；

                                                                   AB=AP-BP；

               轉(zhuǎn)化：CP²=FP²+CF²

                               =(√2/2•BP)²+½•(AB+BP)²

                               =BP²+½•AB²+AB•BP

                               =BP²+½•(AP-BP)²+(AP-BP)•BP

                               =½•(AP²+BP²)

                          故AP²+BP²=2CP².

.