設(shè) A=（aij）i,j = 1,.,n.
設(shè) 列向量 ei = (0,...,0,1,0,...,0)^T, 其中 1 是第i個坐標(biāo), i = 1,2,...,n.
K^n中任意非零列向量都是A的特征向量 ===>
Aei = tiei,ti 屬于K 為對應(yīng)于ei的特征根, i = 1,...,n.
即： （a1i,.., aii,...,ani）= (0,...,0, ti,0,...,0).
===> aij = 0 如果 i 不=j.aii = ti.
下面只需證明 所有的 ti, i =1,...,n 都相等.
因為 ei + ej 也是特征向量,于是：
A(ei + ej) = t(ei + ej), t屬于K
即： ti ei + tj ej = t(ei + ej)
(ti - t)ei + (tj -t)ej = 0,
因為 ei, ej 線性無關(guān), 所以 ti = tj = t
所以 A = t En, 其中 En 是 n*n 單位矩陣. 即 A是數(shù)量矩陣