an,bn,a(n+1)成等差數(shù)列得,an+a(n+1)=2bn -----①
由a(n+1)=√[bn*b(n+1)] -----②
遞推得an=√[b(n-1)*bn] -----③
②③代入①得,√[bn*b(n+1)]+√[b(n-1)*bn]=2bn
上式兩邊同除以√bn得
√b(n+1)+√b(n-1)=2√bn,
即√b(n+1)-√bn=√bn-√b(n-1)
可見數(shù)列{√bn}是等差數(shù)列.
將a1=1,a2=2代入①求得,b1=3/2,再代入②得,b2=8/3
所以數(shù)列{√bn}的首項(xiàng)=√b1=√(3/2),公差d=√b2-√b1=√(8/3)-√(3/2)=√6/6.
所以√bn=(√b1)+(n-1)d=√(3/2)+ (n-1)(√6/6)=(n+2)/√6
bn=(n+2)²/6,進(jìn)而遞推得b(n-1)=(n+1)²/6,代入③得
an=(n+1)(n+2)/6