如果你取一個數(shù)列an = 1/n,它顯然收斂,而且最大值在n = 1的地方.
可以補(bǔ)充這么一個看起來很怪異,但是細(xì)細(xì)一想又很顯然的引理：
對于給定的數(shù)列,假若任給一個實數(shù)p,總存在一個正整數(shù)N,使得|aN| > p,那么進(jìn)一步地,對于任意給定的N0,一定可以找到這樣一個N*,使得它既滿足|aN| > p,又滿足N* > N0.
換句話說,要是數(shù)列某個地方趨于無窮大了,這個地方必然在無窮遠(yuǎn)處.
對于任意數(shù)列,任意給一段有限長區(qū)間,則這段區(qū)間上必有界.
原因很顯然.數(shù)列不像函數(shù),數(shù)列能取到的值是有限的.所以只要給出一個有限長的區(qū)間,我總能一個一個順著找到最大值最小值.因而數(shù)列要出現(xiàn)無窮大的趨近,只能在無窮遠(yuǎn)出,因為此時這段區(qū)間上有無窮多個點(diǎn),從而不能一個一個去找最值了.
函數(shù)則不一樣.所以收斂函數(shù)有界的說明中是說,如果函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處收斂,那么必然存在一個足夠接近與無窮遠(yuǎn)的區(qū)間,使得該區(qū)間上函數(shù)有界；如果函數(shù)在某點(diǎn)收斂,那么必然存在一個該點(diǎn)的臨域,使得函數(shù)在該區(qū)間上有界.