不要用數(shù)列證,否則你就掉陷阱了.明顯是轉(zhuǎn)化成積分做,就看你Riemann積分本質(zhì)搞懂沒有.硬要用數(shù)列極限做你可能永遠(yuǎn)做不出來.
原式=(1/n)*{1/√[4-(1/n)^2]+1/√[4-(2/n)^2]+…+1/√[4-(n/n)^2]}
被積函數(shù)是f(x)=1/√(4-x^2),積分區(qū)間是0→1,分為n份,每份長(zhǎng)度為1/n.
當(dāng)n→+∞時(shí),原式=∫[1/√(4-x^2)]dx,從0積到1.
顯然此積分是存在的,原題極限的值就是此積分的值.
令x=2sinθ,積分區(qū)間對(duì)應(yīng)的變?yōu)?→π/6
帶入積分式中有∫[1/√(4-x^2)]dx=∫[1/√(4-4(sinθ)^2)]d(2sinθ)=∫dθ=π/6-0=π/6
所以,原數(shù)列的極限存在,為π/6.