證明:
構(gòu)造函數(shù)
f(t)=(e^t)-et.t＞0.
求導(dǎo)f'(t)=(e^t)-e.
[[[1]]]
當(dāng)0＜x＜1時(shí),
在區(qū)間[x,1]上,由中值定理可得
f(1)-f(x)=(1-x)f'(ξ),(ξ∈(x,1))
∵0＜x＜ξ＜1.
∴f'(ξ)=(e^ξ)-e＜0.
∴(1-x)f'(ξ)＜0
即f(1)-f(x)＜0
∴f(x)＞f(1)=0.
即當(dāng)0＜x＜1時(shí),恒有(e^x)-ex＞0
即e^x＞ex
[[[2]]]
當(dāng)x=1時(shí),顯然有e^x=ex.
[[[3]]]
當(dāng)x＞1時(shí).在區(qū)間[1,x]上,由中值定理可得
f(x)-f(1)=(x-1)f'(ξ),(1＜ξ＜x)
易知,f'(ξ)=(e^ξ)-e＞0
∴(x-1)f'(ξ)＞0
∴f(x)＞f(1)=0
∴當(dāng)x＞1時(shí),恒有(e^x)-ex＞0
即e^x＞ex
綜上可知,原不等式成立