如圖,三棱錐P-ABC中,到面PAC⊥ABC,PA=PB=PC=3.若AB=BC=2倍根號(hào)三,求AC與平面PBC所成角的大小,請(qǐng)用向量法

數(shù)學(xué)人氣：641 ℃時(shí)間：2019-08-19 13:52:07

優(yōu)質(zhì)解答

過點(diǎn)P向AC作垂線,垂足為O,連接OB
∵面PAC⊥ABC
∴PO⊥平面ABC
∵PA=PB=PC=3 AB=BC=2倍根號(hào)三
∴OA=OB=OC △ABC為等腰直角三角形
以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則有A(√6,0,0),B（0,√6,0）,C（-√6,0,0）,P(0,0,√3)
向量AC=（-2√6,0,0）向量PC=(-√6,0,-√3) 向量BC=（-√6,-√6,0）
設(shè)平面PBC的法向量為向量m
由向量m*PC=0 m*BC=0得到向量m=(1,-1,-√2)
設(shè)AC與平面PBC所成角θ,則sinθ=lcosl=1/2
所以AC與平面PBC所成角為30度.