已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x,設(shè)有且僅有一個實數(shù)Xo,使得f(Xo)=Xo,求函數(shù)的解析
定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x
設(shè)t=f(x)-x^2+x,則f(t)=t
因為有且僅有一個實數(shù)Xo,使得f(Xo)=Xo,
所以t=g(x)=f(x)-x^2+x的值域為單元素集,即g(x)的表達式與x無關(guān),可設(shè)g(x)=b(b為任意實數(shù))
所以f(x)=x^2-x+b
f(Xo)=Xo^2-Xo+b=X0有且僅有一解,所以Xo^2-2Xo+b=0
△=(-2)^2-4b=0,b=1
所以f(x)=x^2-x+1
問：為什么“因為有且僅有一個實數(shù)Xo,使得f(Xo)=Xo,所以t=g(x)=f(x)-x^2+x的值域為單元素集”?只要它取無數(shù)個值,值域不就有無數(shù)個么?