（1）由題意，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），
∴OB=2，
∵tan∠OAB=2，即

OB

OA

=2．
∴OA=1．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．
又∵二次函數(shù)y=x²+mx+2的圖象過(guò)點(diǎn)A，
∴0=1²+m+2．
解得m=-3，
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=x²-3x+2．
（2）作CE⊥x軸于E，
由于∠BAC=90°，可知∠CAE=∠OBA，△CAE≌△OBA，
可得CE=OA=1，AE=OB=2，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，1）．
由于沿y軸運(yùn)動(dòng)，故圖象開口大小、對(duì)稱軸均不變，
設(shè)出解析式為y=x²-3x+c，代入C點(diǎn)作標(biāo)得1=9-9+c，c=1，
所求二次函數(shù)解析式為y=x²-3x+1．
（3）由（2），經(jīng)過(guò)平移后所得圖象是原二次函數(shù)圖象向下平移1個(gè)單位后所得的圖象，
那么對(duì)稱軸直線x=

3

2

不變，且BB₁=DD₁=1．
∵點(diǎn)P在平移后所得二次函數(shù)圖象上，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-3x+1）．
在△PBB₁和△PDD₁中，∵S_△PBB1=2S_△PDD1，
∴邊BB₁上的高是邊DD₁上的高的2倍．
①當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，x=2（x-

3

2

），得x=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）；
②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)，同時(shí)在y軸的右側(cè)時(shí)，x=2（

3

2

-x），得x=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）；
③當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，x＜0，又-x=2（

3

2

-x），
得x=3＞0（舍去），
∴所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）或（1，-1）．