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  • 已知,四邊形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC,求證:四邊形ABCD是等腰梯形. 分析:要證四邊形ABCD是等腰梯形,因為AB=DC,所以只要證四邊形ABCD是梯形即可;又因為AD≠BC,故只需證AD∥BC即可;

    已知,四邊形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC,求證:四邊形ABCD是等腰梯形.
    分析:要證四邊形ABCD是等腰梯形,因為AB=DC,所以只要證四邊形ABCD是梯形即可;又因為AD≠BC,故只需證AD∥BC即可;要證AD∥BC,現(xiàn)有圖所示四種添作輔助線的方法,請任意選擇其中兩種圖形,對原題進行證明.
    數(shù)學(xué)人氣:689 ℃時間:2019-10-27 17:52:48
    優(yōu)質(zhì)解答
    此處選擇證A、D兩種情況.
    A)證明:過點A作AE∥DC,交BC邊于點E,
    ∵AB=DC,AC=BD,BC=BC,
    ∴△ABC≌△DCB.
    ∴∠ABC=∠DCB.
    ∵AE∥DC,
    ∴∠DCB=∠AEB.
    ∴∠AEB=∠ABC.
    ∴AE=AB=DC.
    ∴四邊形ADCE為平行四邊形.
    ∴AD∥EC即AD∥BC.
    ∵AD≠BC,AB=DC,
    ∴四邊形ABCD是等腰梯形.
    D)證明:過點D作DG∥AC,交BC延長線于點G,
    ∵AB=DC,AC=BD,BC=BC,
    在△ABC和△DCB中,
    AB=DC
    AC=BD
    BC=BC
    ,
    ∴△ABC≌△DCB.
    ∴∠ACB=∠DBC.
    ∵DG∥AC,
    ∴∠ACB=∠DGC.
    ∴∠DBC=∠DGC.
    ∴DG=DB=AC.
    ∴四邊形ADGC為平行四邊形.
    ∴AD∥GC即AD∥BC.
    ∵AD≠BC,AB=DC,
    ∴四邊形ABCD是等腰梯形.
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