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  • 已知橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率e=2分之根號(hào)2右準(zhǔn)線(xiàn)x=2,過(guò)F1的直線(xiàn)l與該橢圓交與M,N,且向量F2M+向量F2N的模=2*根號(hào)26/3求直線(xiàn)方程.第一問(wèn)是求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

    已知橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率e=2分之根號(hào)2右準(zhǔn)線(xiàn)x=2,過(guò)F1的直線(xiàn)l與該橢圓交與M,N,且向量F2M+向量F2N的模=2*根號(hào)26/3求直線(xiàn)方程.第一問(wèn)是求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
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    1
    離心率e=c/a=√2/2
    右準(zhǔn)線(xiàn)x=a²/c=2
    ∴c=1,a=√2,b²=a²-c²=1
    ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
    x²/2+y²=1
    2
    F1(-1,0),F2(1,0)
    l的斜率存在,(不存在時(shí),F2M+F2N=-4)
    設(shè) l:y=k(x+1)代入x²/2+y²=1
    x²+2k²(x+1)²-2=0
    即(2k²+1)x²+4k²x+2k²-2=0
    設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)
    則x1+x2=-4k²/(2k²+1),
    x1x2=(2k²-2)/(2k²+1)
    ∴F2M=(x1-1,y1),F2N=(x2-1,y2)
    ∴F2M+F2N=(x1+x2-2,y1+y2)
    ∵|向量F2M+向量F2N|=2*√26/3
    ∴(x1+x2-2)²+(y1+y2)²=4*26/9
    [-4k²/(2k²+1)-2]²+k²(x1+x2+2)²=4*26/9
    [(8k²+2)/(2k²+1)]²+k²[2/(2k²+1)]²=4*26/9
    (4k²+1)²+k²=26/9*(2k²+1)²
    144k⁴+81k²+9=104k⁴+104k²+26
    4ok⁴-23k²-17=0
    k²=1或k²=-17/40(舍去)
    ∴k=±1
    ∴l(xiāng):y=±(x+1)
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